Задача №4. ABCD-ромб, AB=13см, AC:BD=12:5. Найдите площадь ромба ABCD.

Площадь ромба можно найти как половину произведения его диагоналей: \(S = (1/2) * d1 * d2\), где \(d1\) и \(d2\) - диагонали ромба. Пусть \(AC = 12x\) и \(BD = 5x\). Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Обозначим точку пересечения диагоналей как \(O\). Тогда \(AO = (1/2) * AC = 6x\) и \(BO = (1/2) * BD = 2.5x\). Рассмотрим прямоугольный треугольник \(AOB\). По теореме Пифагора: \(AB^2 = AO^2 + BO^2\). \(13^2 = (6x)^2 + (2.5x)^2\) \(169 = 36x^2 + 6.25x^2\) \(169 = 42.25x^2\) \(x^2 = 169 / 42.25 = 4\) \(x = \sqrt{4} = 2\). Тогда \(AC = 12 * 2 = 24\) см и \(BD = 5 * 2 = 10\) см. Площадь ромба \(ABCD\): \(S = (1/2) * AC * BD = (1/2) * 24 * 10 = 120\) см². Ответ: Площадь ромба ABCD равна 120 см².