Задача 3: Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,1. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,98. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,03. Система забраковала батарейку. Найдите вероятность того, что батарейка исправна.

Пусть событие $$D$$ - батарейка неисправна, а событие $$G$$ - батарейка исправна. Пусть событие $$R$$ - система забраковала батарейку. Нам дано: $$P(D) = 0.1$$, значит $$P(G) = 1 - P(D) = 1 - 0.1 = 0.9$$. $$P(R|D) = 0.98$$ (вероятность, что система забракует неисправную батарейку). $$P(R|G) = 0.03$$ (вероятность, что система забракует исправную батарейку). Нужно найти $$P(G|R)$$ - вероятность того, что батарейка исправна, при условии, что система её забраковала. По формуле Байеса: $$P(G|R) = \frac{P(R|G) \cdot P(G)}{P(R)}$$ Найдем $$P(R)$$ по формуле полной вероятности: $$P(R) = P(R|D) \cdot P(D) + P(R|G) \cdot P(G) = 0.98 \cdot 0.1 + 0.03 \cdot 0.9 = 0.098 + 0.027 = 0.125$$ Тогда: $$P(G|R) = \frac{0.03 \cdot 0.9}{0.125} = \frac{0.027}{0.125} = 0.216$$ Ответ: 0.216