Задача 2: BD - биссектриса прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C. Доказать, что точка D равноудалена от прямых BC и AB (из точки D проведите перпендикуляр к AB).

Решение: 1. **Дано:** Прямоугольный треугольник ABC (угол C = 90°), BD - биссектриса угла B. 2. **Требуется доказать:** Точка D равноудалена от прямых BC и AB. 3. **Доказательство:** * Пусть точка D лежит на биссектрисе угла B. Опустим перпендикуляры из точки D на стороны BC и AB. Обозначим точку пересечения перпендикуляра с BC как E, а с AB как F. Таким образом, DE перпендикулярно BC и DF перпендикулярно AB. * Рассмотрим прямоугольные треугольники BDE и BDF. У них BD - общая сторона. Так как BD - биссектриса, то угол DBE равен углу DBF. * Следовательно, треугольники BDE и BDF равны по гипотенузе и острому углу (признак равенства прямоугольных треугольников). * Из равенства треугольников следует, что DE = DF. Это означает, что расстояние от точки D до прямой BC (DE) равно расстоянию от точки D до прямой AB (DF). 4. **Вывод:** Точка D равноудалена от прямых BC и AB, что и требовалось доказать. **Ответ:** Точка D равноудалена от прямых BC и AB, поскольку лежит на биссектрисе угла B.