Задача 102: На рисунке 115 биссектриса угла ABD пересекает прямую AC в точке F, а биссектриса угла DCK пересекает прямую BD в точке E. Докажите, что если AB = AF, то CD = DE.

Решение: 1. **Дано:** BF - биссектриса \(\angle ABD\), CE - биссектриса \(\angle DCK\), AB = AF. 2. **Требуется доказать:** CD = DE. 3. **Доказательство:** * Рассмотрим треугольник ABF. Так как AB = AF, то \(\triangle ABF\) - равнобедренный. Следовательно, \(\angle ABF = \angle AFB\). * Так как BF - биссектриса \(\angle ABD\), то \(\angle ABF = \angle FBD\). Обозначим эти углы как \(\alpha\), то есть \(\angle ABF = \angle FBD = \alpha\). * \(\angle AFB\) и \(\angle CFK\) - вертикальные углы, следовательно, \(\angle AFB = \angle CFK = \alpha\). * Так как AF || DE (из рисунка), \(\angle CFK = \angle EDC = \alpha\) как соответственные углы. Тогда \(\angle EDC = \alpha\). * Поскольку DE пересекает CK, \(\angle EDC = \angle CDK = \alpha\) (возможно, это неверно, поскольку нет данных, что \(\angle DCK = \angle 2*\alpha\). То есть, нужно дополнительное условие или другое доказательство. Изначальное предположение о параллельности также стоит под вопросом, т.к. не задано). * Предположим, что \(\angle DCK = 2*\alpha\), тогда CE - биссектриса угла \(\angle DCK\), значит \(\angle DCE = \angle ECK = \alpha\). * Теперь рассмотрим \(\triangle CDE\). Так как \(\angle EDC = \angle DCE = \alpha\), то \(\triangle CDE\) - равнобедренный с основанием CE. Следовательно, CD = DE. 4. **Вывод:** Если AB = AF и CE - биссектриса \(\angle DCK\) и \(\angle DCK = 2*\alpha\), то CD = DE. **Ответ:** При дополнительных условиях, что \(\angle DCK = 2*\alpha\) CD = DE.