Задача 4: Биссектриса равнобедренного треугольника делит высоту, проведенную к основанию, в отношении 5:3. Найдите периметр треугольника, если данная высота равна 24 см.

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC (AB = BC), BD - высота, проведенная к основанию AC, BE - биссектриса угла B. Пусть O - точка пересечения BD и BE. Тогда BO:OD = 5:3. Так как BD = 24 см, то BO = (5/8) * 24 = 15 см и OD = (3/8) * 24 = 9 см. Так как треугольник ABC равнобедренный, BD - высота и биссектриса. Рассмотрим треугольник BOD - прямоугольный. Пусть \(\angle OBD = \alpha\). Тогда \(tg(\alpha) = \frac{OD}{BO} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}\). Так как BE - биссектриса угла B, то \(\angle ABE = \angle EBC = \alpha\), значит, \(\angle ABC = 2\alpha\). Пусть AD = x. Тогда AC = 2x (так как BD - высота и медиана). Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. \(tg(\alpha) = \frac{AD}{BD}\). Следовательно, \(tg(2\alpha) = \frac{AC}{BD} = \frac{2x}{24} = \frac{x}{12}\). Используем формулу тангенса двойного угла: \(tg(2\alpha) = \frac{2tg(\alpha)}{1 - tg^2(\alpha)}\). Тогда \(\frac{x}{12} = \frac{2 \cdot \frac{3}{5}}{1 - (\frac{3}{5})^2} = \frac{\frac{6}{5}}{1 - \frac{9}{25}} = \frac{\frac{6}{5}}{\frac{16}{25}} = \frac{6}{5} \cdot \frac{25}{16} = \frac{15}{8}\). Тогда x = 12 * (15/8) = 45/2 = 22.5 см. Значит, AC = 2x = 45 см. Чтобы найти AB, используем теорему Пифагора для треугольника ABD: \(AB^2 = AD^2 + BD^2 = (22.5)^2 + 24^2 = 506.25 + 576 = 1082.25\). Тогда \(AB = \sqrt{1082.25} = 32.89756824... \approx 32.9\) см. Периметр треугольника ABC равен P = AB + BC + AC = 2 * AB + AC = 2 * 32.9 + 45 = 65.8 + 45 = 110.8 см. Ответ: Периметр треугольника примерно равен 110.8 см.