Задача 3: Диагонали трапеции равны 32 см и 40 см, а основания — 21 см и 35 см. Найдите отрезки диагоналей, на которые каждая из них делится точкой пересечения.

Пусть дана трапеция ABCD, где AD и BC — основания, O — точка пересечения диагоналей AC и BD. Тогда треугольники BOC и DOA подобны по двум углам (вертикальные углы и накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей). Коэффициент подобия k равен отношению оснований: \(k = \frac{BC}{AD} = \frac{21}{35} = \frac{3}{5}\) Пусть BO = 3x, тогда OD = 5x. BD = BO + OD = 3x + 5x = 8x. По условию BD = 40 см, значит, 8x = 40, откуда x = 5 см. Тогда BO = 3 * 5 = 15 см, OD = 5 * 5 = 25 см. Пусть CO = 3y, тогда OA = 5y. AC = CO + OA = 3y + 5y = 8y. По условию AC = 32 см, значит, 8y = 32, откуда y = 4 см. Тогда CO = 3 * 4 = 12 см, OA = 5 * 4 = 20 см. Ответ: Диагональ длиной 32 см делится на отрезки 12 см и 20 см, а диагональ длиной 40 см делится на отрезки 15 см и 25 см.