Задача 1: Найдите углы разностороннего треугольника, если в треугольнике, подобном данному, один из углов отличается от каждого из двух других на 40°.

Пусть углы треугольника равны $$x$$, $$x + 40$$ и $$y$$. Сумма углов треугольника равна 180 градусам, поэтому: $$x + (x + 40) + y = 180$$ $$2x + y = 140$$ (1) Поскольку один из углов отличается от каждого из двух других на 40 градусов, то возможны два случая: Случай 1: $$y = x + 40$$. Тогда из (1) получаем: $$2x + (x + 40) = 140$$ $$3x = 100$$ $$x = \frac{100}{3} \approx 33.33^{\circ}$$ Тогда углы равны $$\frac{100}{3}^{\circ}$$, $$\frac{100}{3} + 40 = \frac{220}{3}^{\circ} \approx 73.33^{\circ}$$ и $$\frac{220}{3}^{\circ}$$. Сумма углов равна $$\frac{100}{3} + \frac{220}{3} + \frac{220}{3} = 180$$ $$ \frac{100}{3} + \frac{220}{3} + \frac{220}{3} = \frac{540}{3} = 180^{\circ}$$. Случай 2: $$y = x - 40$$. Тогда из (1) получаем: $$2x + (x - 40) = 140$$ $$3x = 180$$ $$x = 60^{\circ}$$ Тогда углы равны $$60^{\circ}$$, $$60^{\circ} + 40^{\circ} = 100^{\circ}$$ и $$60^{\circ} - 40^{\circ} = 20^{\circ}$$. Сумма углов равна $$60^{\circ} + 100^{\circ} + 20^{\circ} = 180^{\circ}$$. Ответ: Углы треугольника могут быть $$33.33^{\circ}$$, $$73.33^{\circ}$$, $$73.33^{\circ}$$ или $$20^{\circ}$$, $$60^{\circ}$$, $$100^{\circ}$$.