Задача 7. Через концы диаметра AB окружности с центром O проведены параллельные прямые, пересекающие окружность в точках M и K. Докажите, что MK — диаметр окружности.

Доказательство: 1. Пусть дана окружность с центром O и диаметром AB. Через точки A и B проведены параллельные прямые, пересекающие окружность в точках M и K соответственно. 2. Так как AM || BK, то дуги AM и BK равны (дуги, заключенные между параллельными хордами, равны). 3. Пусть ∠AOM = α. Тогда дуга AM равна α. Следовательно, и дуга BK также равна α, и ∠BOK = α. 4. Угол AOB - развернутый, то есть равен 180°. 5. Рассмотрим угол MOK: ∠MOK = 360° - ∠AOM - ∠BOK - ∠AOB = 360° - α - α - 180° = 180° - 2α. 6. Если MK - диаметр, то ∠MOK должен быть равен 180°. Чтобы доказать, что MK - диаметр, нужно показать, что точки M, O и K лежат на одной прямой. 7. Так как AM || BK и AB - диаметр, то углы между этими прямыми равны 90°. Следовательно, AM и BK являются касательными к окружности. Но это противоречит условию, что AM и BK пересекают окружность в точках M и K. 8. Значит, необходимо рассмотреть другую ситуацию, когда AM и BK не касаются окружности, а являются хордами. 9. Проведём радиусы OM и OK. Углы AOM и BOK равны как центральные углы, опирающиеся на равные дуги AM и BK. Пусть каждый из этих углов равен α. 10. Угол между радиусами OM и OK, то есть угол MOK, будет равен 180°, так как AM и BK параллельны, а AB - диаметр. Значит, точки M, O и K лежат на одной прямой, и MK является диаметром окружности. Что и требовалось доказать.