Задача 5: Четырехугольник задан координатами своих вершин А(5;-3), В(1;2), C(4;4), D(6;1). Найдите синус угла между его диагоналями.

1. **Находим координаты векторов диагоналей AC и BD:** * $$\vec{AC} = C - A = (4-5; 4-(-3)) = (-1; 7)$$ * $$\vec{BD} = D - B = (6-1; 1-2) = (5; -1)$$ 2. **Находим косинус угла между диагоналями, используя скалярное произведение:** $$\cos{\theta} = \frac{\vec{AC} \cdot \vec{BD}}{|\vec{AC}| \cdot |\vec{BD}|}$$ * Скалярное произведение: $$\vec{AC} \cdot \vec{BD} = (-1)(5) + (7)(-1) = -5 - 7 = -12$$ * Длина вектора AC: $$|\vec{AC}| = \sqrt{(-1)^2 + 7^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$$ * Длина вектора BD: $$|\vec{BD}| = \sqrt{(5)^2 + (-1)^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}$$ * $$\cos{\theta} = \frac{-12}{5\sqrt{2} \cdot \sqrt{26}} = \frac{-12}{5\sqrt{52}} = \frac{-12}{5\sqrt{4 \cdot 13}} = \frac{-12}{10\sqrt{13}} = \frac{-6}{5\sqrt{13}}$$ 3. **Находим синус угла, зная косинус:** Используем тригонометрическое тождество: $$\sin^2{\theta} + \cos^2{\theta} = 1$$ $$\sin^2{\theta} = 1 - \cos^2{\theta} = 1 - (\frac{-6}{5\sqrt{13}})^2 = 1 - \frac{36}{25 \cdot 13} = 1 - \frac{36}{325} = \frac{325 - 36}{325} = \frac{289}{325}$$ $$\sin{\theta} = \sqrt{\frac{289}{325}} = \frac{\sqrt{289}}{\sqrt{325}} = \frac{17}{5\sqrt{13}}$$ 4. **Приведем к более простому виду:** $$\sin{\theta} = \frac{17}{5\sqrt{13}} = \frac{17\sqrt{13}}{5 \cdot 13} = \frac{17\sqrt{13}}{65}$$ Ответ: Синус угла между диагоналями четырехугольника равен $$\frac{17\sqrt{13}}{65}$$.