Задача 1: В треугольнике ABC AB=5, BC=4, а его площадь равна 5√3. Найдите третью сторону треугольника, если известно, что угол B — острый.

Для решения этой задачи воспользуемся формулой площади треугольника: $$S = \frac{1}{2}ab\sin{C}$$, где $$a$$ и $$b$$ — стороны треугольника, а $$C$$ — угол между ними. В нашем случае, $$AB = 5$$, $$BC = 4$$, и площадь $$S = 5\sqrt{3}$$. Пусть угол между сторонами AB и BC равен B. Тогда: $$5\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 4 \cdot \sin{B}$$ $$5\sqrt{3} = 10 \sin{B}$$ $$\sin{B} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ Так как угол B острый, то $$B = 60^\circ$$. Теперь можно найти третью сторону AC с помощью теоремы косинусов: $$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos{B}$$ $$AC^2 = 5^2 + 4^2 - 2 \cdot 5 \cdot 4 \cdot \cos{60^\circ}$$ $$AC^2 = 25 + 16 - 40 \cdot \frac{1}{2}$$ $$AC^2 = 41 - 20$$ $$AC^2 = 21$$ $$AC = \sqrt{21}$$ Ответ: $$\sqrt{21}$$