Задача 2: Найдите косинусы углов треугольника ABC, если A (3;9), B(0;6), C (4;2).

Чтобы найти косинусы углов треугольника ABC, сначала найдем длины сторон треугольника, используя координаты вершин. $$AB = \sqrt{(3-0)^2 + (9-6)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$$ $$BC = \sqrt{(0-4)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 4^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$$ $$AC = \sqrt{(3-4)^2 + (9-2)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 7^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$$ Теперь найдем косинусы углов с помощью теоремы косинусов: $$\cos{A} = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC} = \frac{(3\sqrt{2})^2 + (5\sqrt{2})^2 - (4\sqrt{2})^2}{2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2}} = \frac{18 + 50 - 32}{2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 2} = \frac{36}{60} = \frac{3}{5}$$ $$\cos{B} = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC} = \frac{(3\sqrt{2})^2 + (4\sqrt{2})^2 - (5\sqrt{2})^2}{2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{2}} = \frac{18 + 32 - 50}{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 2} = \frac{0}{48} = 0$$ $$\cos{C} = \frac{AC^2 + BC^2 - AB^2}{2 \cdot AC \cdot BC} = \frac{(5\sqrt{2})^2 + (4\sqrt{2})^2 - (3\sqrt{2})^2}{2 \cdot 5\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{2}} = \frac{50 + 32 - 18}{2 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 2} = \frac{64}{80} = \frac{4}{5}$$ Ответ: $$\cos{A} = \frac{3}{5}$$ $$\cos{B} = 0$$ $$\cos{C} = \frac{4}{5}$$