Задача 4: В параллелограмме MNKP MN=8, MP=7√3, угол M равен 30°. Найдите диагонали параллелограмма.

Пусть MNKP — параллелограмм, MN = 8, MP = 7√3, угол M = 30°. Нужно найти диагонали NK и MP. Обозначим диагональ NK как d1, диагональ MP как d2. Диагонали параллелограмма можно найти с помощью теоремы косинусов. $$NK^2 = MN^2 + PK^2 - 2 \cdot MN \cdot PK \cdot \cos{N}$$ $$MP^2 = MN^2 + NP^2 - 2 \cdot MN \cdot NP \cdot \cos{M}$$ Так как MNKP — параллелограмм, то PK = MN и NP = MP. Угол M равен 30°, а угол N равен 180° - 30° = 150°. Для диагонали NK (d1): $$d1^2 = 8^2 + (7\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 8 \cdot 7\sqrt{3} \cdot \cos{150^\circ}$$ $$d1^2 = 64 + 147 - 112\sqrt{3} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})$$ $$d1^2 = 211 + 112 \cdot \frac{3}{2} = 211 + 168 = 379$$ $$d1 = \sqrt{379}$$ Для диагонали MP (d2): $$d2^2 = 8^2 + (7\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 8 \cdot 7\sqrt{3} \cdot \cos{30^\circ}$$ $$d2^2 = 64 + 147 - 112\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$d2^2 = 211 - 112 \cdot \frac{3}{2} = 211 - 168 = 43$$ $$d2 = \sqrt{43}$$ Ответ: Диагонали параллелограмма равны $$\sqrt{379}$$ и $$\sqrt{43}$$.