Задача 4: Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Найдите двугранный угол ADCA1, если AC = 13 см, DC = 5 см, AA1 = \(12\sqrt{3}\) см.

Решение: 1. Двугранный угол \(ADCA_1\) - это угол между плоскостями \(ADC\) и \(A_1DC\). 2. Найдем \(AD\). В прямоугольнике \(ABCD\) по теореме Пифагора: \(AD^2 + DC^2 = AC^2\), значит, \(AD^2 = AC^2 - DC^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144\), следовательно, \(AD = \sqrt{144} = 12\) см. 3. Так как параллелепипед прямоугольный, то \(AA_1\) перпендикулярна плоскости \(ADC\). Следовательно, \(AA_1\) перпендикулярна \(AD\) и \(DC\). 4. Рассмотрим треугольник \(\triangle A_1AD\). Он прямоугольный, так как \(AA_1\) перпендикулярна \(AD\). Тогда \(tan(\angle A_1DA) = \frac{AA_1}{AD} = \frac{12\sqrt{3}}{12} = \sqrt{3}\). 5. Значит, \(\angle A_1DA = arctan(\sqrt{3}) = 60^\circ\). 6. Двугранный угол \(ADCA_1\) равен углу \(\angle A_1DA\), то есть \(60^\circ\). Ответ: Двугранный угол \(ADCA_1\) равен \(60^\circ\).