Задача 1: Найдите x, если AB перпендикулярна плоскости треугольника BCD, AC и AD - наклонные, \(\angle ACB = \angle ADB = 30^\circ\), CA перпендикулярна DA, AB = 2.

Решение: 1. Рассмотрим треугольник \(\triangle ABC\). Так как \(AB\) перпендикулярна плоскости \(BCD\), то \(\angle ABC = 90^\circ\). 2. В прямоугольном треугольнике \(\triangle ABC\), \(\angle ACB = 30^\circ\). Следовательно, \(AB = AC \cdot sin(30^\circ)\). 3. Подставим известные значения: \(2 = AC \cdot \frac{1}{2}\), откуда \(AC = 4\). 4. Аналогично, рассмотрим треугольник \(\triangle ABD\). \(\angle ABD = 90^\circ\) и \(\angle ADB = 30^\circ\). Следовательно, \(AB = AD \cdot sin(30^\circ)\). 5. Подставим известные значения: \(2 = AD \cdot \frac{1}{2}\), откуда \(AD = 4\). 6. Теперь рассмотрим треугольник \(\triangle CAD\). По условию, \(\angle CAD = 90^\circ\). По теореме Пифагора, \(CD^2 = AC^2 + AD^2\). 7. Подставим значения: \(CD^2 = 4^2 + 4^2 = 16 + 16 = 32\), следовательно, \(CD = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\). 8. Таким образом, \(x = CD = 4\sqrt{2}\). Ответ: \(x = 4\sqrt{2}\)