Задача 6: Дано: \(\angle A = \angle B\), CO = 4, DO = 6, AO = 5. Найти: a) OB, б) AC: BD, в) \(S_{AOC}: S_{BOD}\)

**Решение:** а) Рассмотрим треугольники AOC и BOD. \(\angle A = \angle B\) (дано). Также, \(\angle AOC = \angle BOD\) как вертикальные углы. Следовательно, треугольники AOC и BOD подобны по двум углам (AA similarity). Из подобия треугольников следует пропорция: \(\frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO}\) Подставляем известные значения: \(\frac{5}{BO} = \frac{4}{6}\) Решаем уравнение относительно BO: \(BO = \frac{5 \cdot 6}{4} = \frac{30}{4} = 7.5\) **Ответ: OB = 7.5** б) AC: BD Из подобия треугольников AOC и BOD, следует: \(\frac{AC}{BD} = \frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO}\) Используем найденное значение BO = 7.5 и данные из условия: \(\frac{AC}{BD} = \frac{5}{7.5} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\) **Ответ: AC: BD = 2:3** в) \(S_{AOC}: S_{BOD}\) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: \(\frac{S_{AOC}}{S_{BOD}} = (\frac{AO}{BO})^2 = (\frac{CO}{DO})^2 = (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}\) **Ответ: \(S_{AOC}: S_{BOD} = 4:9\)** **Объяснение для ученика:** * В этой задаче мы использовали подобие треугольников. Подобие означает, что треугольники имеют одинаковую форму, но разные размеры. * Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. * Из подобия следует пропорциональность сторон и, как следствие, можно найти неизвестные стороны. * Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату отношения их соответствующих сторон.