Задача 10: Основания трапеции равны – 4 см и 8 см, высота - 9 см. Найдите расстояния от точки пересечения диагоналей до оснований трапеции.

**Решение:** Пусть дана трапеция ABCD, где AD = 8 см, BC = 4 см, высота h = 9 см. O - точка пересечения диагоналей. Нужно найти расстояния от точки O до оснований, то есть высоты треугольников BOC и AOD. 1. Рассмотрим треугольники BOC и AOD. Они подобны по двум углам (угол BOC = углу AOD как вертикальные, угол BCO = углу DAO как накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей AC). 2. Определим коэффициент подобия k: \(k = \frac{BC}{AD} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}\) 3. Пусть h1 - высота треугольника BOC, а h2 - высота треугольника AOD. Тогда \(\frac{h_1}{h_2} = k = \frac{1}{2}\), то есть \(h_2 = 2h_1\) 4. Сумма высот h1 и h2 равна высоте трапеции h: \(h_1 + h_2 = h\). Подставляем \(h_2 = 2h_1\): \(h_1 + 2h_1 = 9\) \(3h_1 = 9\) \(h_1 = 3\) см 5. Найдем h2: \(h_2 = 2h_1 = 2 \cdot 3 = 6\) см **Ответ: Расстояние от точки пересечения диагоналей до меньшего основания равно 3 см, до большего основания - 6 см.** **Объяснение для ученика:** * В этой задаче мы использовали подобие треугольников, образованных диагоналями трапеции. * Важно понимать, что высоты подобных треугольников относятся так же, как и их стороны. * Сумма высот треугольников, опирающихся на основания трапеции и имеющих общую вершину в точке пересечения диагоналей, равна высоте самой трапеции.