Задача 1: Дано PE || NK, MP = 8, MN = 12, ME = 6. Найти: a) MK; б) PE : NK; в) S_MEP : S_MKN

a) Так как PE || NK, то треугольники MEP и MNK подобны по двум углам (угол M общий, углы MEP и MNK равны как соответственные при параллельных прямых PE и NK и секущей MN). Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон: \( \frac{ME}{MN} = \frac{MP}{MK} \). Подставляем известные значения: \( \frac{6}{12} = \frac{8}{MK} \). Отсюда, \( MK = \frac{8 \cdot 12}{6} = 16 \) см. б) Снова используем подобие треугольников MEP и MNK. \( \frac{ME}{MN} = \frac{PE}{NK} \). Тогда \( \frac{6}{12} = \frac{PE}{NK} \). Значит, \( \frac{PE}{NK} = \frac{1}{2} \). в) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Так как \( \frac{ME}{MN} = \frac{1}{2} \), то \( \frac{S_{MEP}}{S_{MKN}} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \).