Задача 11: Диагонали AC и BD трапеции ABCD с основаниями BC и AD пересекаются в точке O, BC = 6, AD = 12, AC = 12. Найдите AO.

Рассмотрим треугольники BOC и DOA. Угол BOC равен углу DOA как вертикальные углы. Угол OCB равен углу OAD как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей AC. Следовательно, треугольники BOC и DOA подобны по двум углам. Из подобия треугольников следует, что $$\frac{BO}{OD} = \frac{CO}{OA} = \frac{BC}{AD} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$$. Пусть CO = x, тогда OA = 2x. AC = CO + OA = x + 2x = 3x. Но AC = 12, значит, 3x = 12, и x = 4. Тогда CO = 4, а AO = 2x = 2 * 4 = 8. **Ответ: AO = 8**