Задача 3: Диаметр шара равен d. Через конец диаметра проведена плоскость под углом 45° к нему. Найдите площадь сечения шара этой плоскостью.

Пусть $$d$$ - диаметр шара, тогда радиус шара $$R = \frac{d}{2}$$. Плоскость проведена через конец диаметра под углом $$45^{\circ}$$ к нему. Расстояние от центра шара до плоскости $$h = R \cos(45^{\circ}) = \frac{d}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{d\sqrt{2}}{4}$$. Радиус сечения $$r$$ можно найти по теореме Пифагора: $$r^2 = R^2 - h^2 = (\frac{d}{2})^2 - (\frac{d\sqrt{2}}{4})^2 = \frac{d^2}{4} - \frac{2d^2}{16} = \frac{d^2}{4} - \frac{d^2}{8} = \frac{d^2}{8}$$. Площадь сечения шара равна $$S = \pi r^2 = \pi \frac{d^2}{8}$$. **Ответ:** $$\frac{\pi d^2}{8}$$