Задача 4: В цилиндре проведена плоскость, параллельная оси и отсекающая от окружности основания дугу в 90°. Диагональ сечения равна 10 см и удалена от оси на 4 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Пусть радиус основания цилиндра равен $$R$$, а высота цилиндра равна $$h$$. Плоскость, параллельная оси, отсекает от окружности основания дугу в $$90^{\circ}$$. Расстояние от оси до плоскости равно 4 см. По теореме Пифагора, $$R^2 = 4^2 + x^2$$, где $$x$$ - половина длины хорды, отсекаемой плоскостью от основания. Так как дуга $$90^{\circ}$$, то хорда равна $$R\sqrt{2}$$, значит $$x = \frac{R\sqrt{2}}{2}$$. $$R^2 = 16 + (\frac{R\sqrt{2}}{2})^2 = 16 + \frac{2R^2}{4} = 16 + \frac{R^2}{2}$$. $$\frac{R^2}{2} = 16$$, $$R^2 = 32$$, $$R = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$$ см. Диагональ сечения равна 10 см. Сечение - прямоугольник со сторонами $$h$$ и $$R\sqrt{2}$$. $$h^2 + (R\sqrt{2})^2 = 10^2$$, $$h^2 + (4\sqrt{2}\sqrt{2})^2 = 100$$, $$h^2 + 8^2 = 100$$, $$h^2 = 100 - 64 = 36$$, $$h = 6$$ см. Площадь боковой поверхности цилиндра $$S_{бок} = 2\pi Rh = 2\pi (4\sqrt{2})(6) = 48\pi\sqrt{2}$$ см$$^2$$. **Ответ:** $$48\pi\sqrt{2}$$ см$$^2$$