Задача 3: Из точек A и B, лежащих в двух перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры AC и BE на прямую пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка AB, если AC = 12 м, BE = 14 м, CE = 12 м.

Решение: 1. **Рассмотрим плоскости и перпендикуляры:** Пусть плоскости α и β перпендикулярны, и линия их пересечения - l. AC ⊥ l, BE ⊥ l. Следовательно, AC ⊥ CE и BE ⊥ CE. 2. **Рассмотрим прямоугольный треугольник ACE:** Из условия AC = 12 м, CE = 12 м. Найдем AE по теореме Пифагора: $$AE = \sqrt{AC^2 + CE^2} = \sqrt{12^2 + 12^2} = \sqrt{144 + 144} = \sqrt{288} = 12\sqrt{2}$$ м. 3. **Рассмотрим прямоугольный треугольник ABE:** Плоскости перпендикулярны, значит AE ⊥ BE. Из условия BE = 14 м. Найдем AB по теореме Пифагора: $$AB = \sqrt{AE^2 + BE^2} = \sqrt{(12\sqrt{2})^2 + 14^2} = \sqrt{288 + 196} = \sqrt{484} = 22$$ м. Ответ: Длина отрезка AB равна 22 м.