Задача 4: В прямоугольном параллелепипеде стороны основания 3 и 6 см, а одна из диагоналей основания равна 4 см. Найдите большую диагональ параллелепипеда, зная, что меньшая диагональ образует с плоскостью основания угол 60°.

Решение: 1. **Основание:** Так как параллелепипед прямоугольный, то его основание - прямоугольник. Обозначим стороны основания как a = 3 см и b = 6 см. Диагонали основания будут разными, т.к. стороны не равны. 2. **Диагонали основания:** Найдем диагонали основания. Обозначим их d₁ и d₂. Мы знаем, что одна из диагоналей равна 4 см. Необходимо выяснить, какая именно. * Меньшая диагональ не может быть меньше стороны, то есть, диагональ длиной 4 см не может быть большей. * Бо́льшая диагональ: $$d_2 = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \approx 6.7$$ см. Таким образом, $$d_1=4$$ см. 3. **Угол между меньшей диагональю и плоскостью основания:** Обозначим высоту параллелепипеда как h. Угол между диагональю и плоскостью основания - это угол между диагональю и ее проекцией на эту плоскость, т.е. диагональю основания. $$\tan(60^\circ) = \frac{h}{d_1}$$ => $$h = d_1 \cdot \tan(60^\circ) = 4 \cdot \sqrt{3}$$ см. 4. **Большая диагональ параллелепипеда:** Обозначим большую диагональ параллелепипеда как D. Тогда: $$D = \sqrt{d_2^2 + h^2} = \sqrt{(3\sqrt{5})^2 + (4\sqrt{3})^2} = \sqrt{45 + 48} = \sqrt{93}$$ см. Ответ: Большая диагональ параллелепипеда равна $$\sqrt{93}$$ см.