Задача 3: Из точки A проведены две касательные к окружности с центром в точке O. Найдите расстояние от точки A до точки O, если угол между касательными равен 60°, а радиус окружности равен 6.

Пусть B и C - точки касания касательных, проведенных из точки A к окружности. Тогда AO - биссектриса угла между касательными, и ∠BAO = ∠CAO = 60° / 2 = 30°. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABO, где OB - радиус окружности, AB - касательная, и AO - гипотенуза. Угол ∠ABO прямой (90°), так как радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Используем тригонометрическую функцию тангенс для угла ∠BAO: $$\tan(∠BAO) = \frac{OB}{AB}$$ $$\tan(30°) = \frac{6}{AB}$$ $$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{6}{AB}$$ $$AB = 6\sqrt{3}$$ Теперь используем теорему Пифагора для треугольника ABO: $$AO^2 = AB^2 + OB^2$$ $$AO^2 = (6\sqrt{3})^2 + 6^2$$ $$AO^2 = 36 \cdot 3 + 36 = 108 + 36 = 144$$ $$AO = \sqrt{144} = 12$$ Ответ: 12