Задача 4: В окружности с центром в точке O проведены диаметры AD и BC, угол OAB равен 37°. Найдите величину угла OCD.

Поскольку AD и BC - диаметры окружности с центром O, то OA, OB, OC и OD - радиусы этой окружности. Следовательно, OA = OB = OC = OD. Рассмотрим треугольник OAB. Так как OA = OB, то треугольник OAB равнобедренный, и углы при основании равны: ∠OAB = ∠OBA = 37°. Рассмотрим треугольник OCD. Так как OC = OD, то треугольник OCD также равнобедренный, и углы при основании равны: ∠OCD = ∠ODC. Угол AOB и угол COD вертикальные, следовательно, они равны: ∠AOB = ∠COD. В треугольнике OAB угол AOB равен: ∠AOB = 180° - (∠OAB + ∠OBA) = 180° - (37° + 37°) = 180° - 74° = 106°. Тогда ∠COD = 106°. В треугольнике OCD сумма углов равна 180°: ∠OCD + ∠ODC + ∠COD = 180°. Так как ∠OCD = ∠ODC, то 2 * ∠OCD + 106° = 180°. 2 * ∠OCD = 180° - 106° = 74°. ∠OCD = 74° / 2 = 37°. Ответ: 37°