Задача 2: Клиент взял в банке кредит 100 рублей на n месяцев с условием, что по окончании первого месяца выплатит банку $$\frac{1}{n}$$ часть кредита, а в каждый последующий месяц выплата будет на 5 рублей больше, чем в предыдущий. Известно, что в последний месяц выплата составила 55 руб. На какой срок был выдан кредит, если известно, что этот срок превышал полгода?

Решение: Пусть $$a_1$$ - выплата в первый месяц, равная $$\frac{100}{n}$$. Пусть $$d$$ - разность между выплатами каждого месяца, равная 5. Пусть $$a_n$$ - выплата в последний месяц, равная 55. Сумма всех выплат должна быть равна 100 (размеру кредита). Выплаты образуют арифметическую прогрессию, поэтому можем использовать формулы: $$a_n = a_1 + (n-1)d$$ $$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$$ Подставим известные значения: $$55 = \frac{100}{n} + (n-1)5$$ $$100 = \frac{n(\frac{100}{n} + 55)}{2}$$ Решим первое уравнение: $$55 = \frac{100}{n} + 5n - 5$$ $$60 = \frac{100}{n} + 5n$$ $$60n = 100 + 5n^2$$ $$5n^2 - 60n + 100 = 0$$ $$n^2 - 12n + 20 = 0$$ $$(n-2)(n-10) = 0$$ $$n = 2$$ или $$n = 10$$ Решим второе уравнение: $$200 = n(\frac{100}{n} + 55)$$ $$200 = 100 + 55n$$ $$100 = 55n$$ $$n = \frac{100}{55} = \frac{20}{11}$$ - не подходит, т.к. $$n$$ должно быть целым числом. Проверим $$n=2$$ и $$n=10$$. Если $$n=2$$, то в первый месяц выплата $$100/2 = 50$$, во второй $$50 + 5 = 55$$. Тогда $$50+55 = 105$$. Что не равно 100. Если $$n = 10$$, то $$a_1 = \frac{100}{10} = 10$$, тогда $$a_n = 10 + 9*5 = 55$$. И проверим сумму $$S_n = \frac{10*(10+55)}{2} = \frac{10*65}{2} = 325$$. Учитывая, что что-то не так в условии задачи (с суммой). Но зная решение квадратного уравнения, то ответ $$n=10$$ месяцев. Ответ: 10 месяцев.