Задача 3. Материальная точка совершает прямолинейное движение по закону $$S(t)=5t+2t^2-\frac{2}{3}t^3$$, S - путь в метрах, а t — время в секундах. Найдите его максимальную скорость.

Чтобы найти максимальную скорость, нужно найти производную от пути по времени, то есть скорость V(t), а затем найти максимальное значение этой скорости. $$V(t) = S'(t) = 5 + 4t - 2t^2$$ Чтобы найти максимальную скорость, найдем производную V'(t) и приравняем ее к нулю: $$V'(t) = 4 - 4t = 0$$ $$4t = 4$$ $$t = 1$$ Теперь найдем скорость в этот момент времени: $$V(1) = 5 + 4 * 1 - 2 * 1^2 = 5 + 4 - 2 = 7$$ Проверим вторую производную, чтобы убедиться, что это максимум: $$V''(t) = -4 < 0$$. Значит, это максимум. Таким образом, максимальная скорость равна 7 м/с.