Задача 1. Прямоугольный лист жести имеет длину 80 см и ширину 50 см. Из этого листа требуется изготовить открытую сверху коробку, вырезая по углам листа равные квадраты и загибая оставшиеся боковые полосы под прямым углом к основанию. Какими следует взять стороны вырезаемых квадратов, чтобы вместимость коробки оказалась максимальной.

Пусть x - сторона вырезаемого квадрата. Тогда размеры коробки будут: длина (80 - 2x), ширина (50 - 2x) и высота x. Объем коробки V(x) = x(80 - 2x)(50 - 2x) = x(4000 - 160x - 100x + 4x^2) = 4x^3 - 260x^2 + 4000x. Чтобы найти максимальный объем, нужно найти производную V'(x) и приравнять ее к нулю: V'(x) = 12x^2 - 520x + 4000 = 0 Разделим на 4: 3x^2 - 130x + 1000 = 0 Решим квадратное уравнение: D = (-130)^2 - 4 * 3 * 1000 = 16900 - 12000 = 4900 x1 = (130 + \sqrt{4900}) / (2 * 3) = (130 + 70) / 6 = 200 / 6 = 100 / 3 ≈ 33.33 x2 = (130 - \sqrt{4900}) / (2 * 3) = (130 - 70) / 6 = 60 / 6 = 10 Так как ширина листа 50 см, то x не может быть больше 25 см. Поэтому x1 ≈ 33.33 не подходит. Остается x2 = 10. Проверим вторую производную, чтобы убедиться, что это максимум: V''(x) = 24x - 520 V''(10) = 24 * 10 - 520 = 240 - 520 = -280 < 0. Значит, это максимум. Таким образом, стороны вырезаемых квадратов должны быть 10 см.