Задача 4. Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Периметр окна равен a. При каких размерах сторон прямоугольника окно будет пропускать наибольшее количество света?

Пусть x - ширина прямоугольника, а y - высота прямоугольника. Тогда радиус полукруга равен x/2. Периметр окна: $$P = x + 2y + \frac{1}{2} * 2 * \pi * \frac{x}{2} = x + 2y + \frac{\pi x}{2} = a$$ Выразим y через x: $$2y = a - x - \frac{\pi x}{2}$$ $$y = \frac{a}{2} - \frac{x}{2} - \frac{\pi x}{4}$$ Площадь окна: $$S = x * y + \frac{1}{2} * \pi * (\frac{x}{2})^2 = x * (\frac{a}{2} - \frac{x}{2} - \frac{\pi x}{4}) + \frac{\pi x^2}{8} = \frac{ax}{2} - \frac{x^2}{2} - \frac{\pi x^2}{4} + \frac{\pi x^2}{8} = \frac{ax}{2} - \frac{x^2}{2} - \frac{\pi x^2}{8}$$ Чтобы найти максимальную площадь, найдем производную S'(x) и приравняем ее к нулю: $$S'(x) = \frac{a}{2} - x - \frac{\pi x}{4} = 0$$ $$x(1 + \frac{\pi}{4}) = \frac{a}{2}$$ $$x = \frac{a}{2(1 + \frac{\pi}{4})} = \frac{a}{2 + \frac{\pi}{2}} = \frac{2a}{4 + \pi}$$ Теперь найдем y: $$y = \frac{a}{2} - \frac{x}{2} - \frac{\pi x}{4} = \frac{a}{2} - \frac{1}{2} * \frac{2a}{4 + \pi} - \frac{\pi}{4} * \frac{2a}{4 + \pi} = \frac{a}{2} - \frac{a}{4 + \pi} - \frac{\pi a}{2(4 + \pi)} = \frac{a(4 + \pi) - 2a - \pi a}{2(4 + \pi)} = \frac{4a + \pi a - 2a - \pi a}{2(4 + \pi)} = \frac{2a}{2(4 + \pi)} = \frac{a}{4 + \pi}$$ Таким образом, ширина прямоугольника $$x = \frac{2a}{4 + \pi}$$, а высота прямоугольника $$y = \frac{a}{4 + \pi}$$.