Задача 3. На полуокружности AB (центр окружности – точка O) взяты точки C и K так, что дуга AC равна 51°, дуга BK равна 69°. Найдите хорду CK, если радиус окружности равен 12 см.

Пусть R - радиус окружности, R = 12 см. Так как AB - полуокружность, то дуга AB = 180°. Дано, что дуга AC = 51° и дуга BK = 69°. Тогда дуга CK = дуга AB - дуга AC - дуга BK = 180° - 51° - 69° = 60°. Рассмотрим треугольник COK. Так как OC и OK - радиусы окружности, то OC = OK = R = 12 см. Угол COK равен градусной мере дуги CK, то есть угол COK = 60°. Следовательно, треугольник COK равнобедренный (OC = OK) и угол COK = 60°. Это означает, что углы OCK и OKC также равны. Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому $\angle OCK = \angle OKC = (180^{\circ} - 60^{\circ}) / 2 = 60^{\circ}$. Так как все углы треугольника COK равны 60°, то это равносторонний треугольник. Следовательно, CK = OC = OK = 12 см. Ответ: Хорда CK равна 12 см.