Задача 1. Радиус окружности с центром O равен 18. Найдите хорду AB, если угол AOB равен 60°. А) угол АОВ равен 60°; Б) угол АОВ равен 90°; В) угол АОВ равен 180°.

Рассмотрим треугольник AOB. Так как OA и OB - радиусы окружности, то OA = OB = 18. Следовательно, треугольник AOB равнобедренный. Угол AOB равен 60° (дано). В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому углы OAB и OBA также равны. Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому $\angle OAB = \angle OBA = (180^{\circ} - 60^{\circ}) / 2 = 60^{\circ}$. Так как все углы треугольника AOB равны 60°, то это равносторонний треугольник. Следовательно, AB = OA = OB = 18. Ответ: Хорда AB равна 18, если угол AOB равен 60°. Теперь рассмотрим случаи, когда угол AOB равен 90° и 180°. Б) Если угол AOB равен 90°, то треугольник AOB прямоугольный и равнобедренный (OA = OB = 18). По теореме Пифагора, $AB^2 = OA^2 + OB^2 = 18^2 + 18^2 = 2 * 18^2$. Следовательно, $AB = \sqrt{2 * 18^2} = 18\sqrt{2}$. В) Если угол AOB равен 180°, то точки A, O и B лежат на одной прямой, и AB является диаметром окружности. Следовательно, AB = 2 * радиус = 2 * 18 = 36. Таким образом, ответы: А) Если угол AOB равен 60°, то AB = 18. Б) Если угол AOB равен 90°, то $AB = 18\sqrt{2}$. В) Если угол AOB равен 180°, то AB = 36.