Задача 2: Найдите CD, если AD = √31 см, AB = 6 см, ∠ACB = 45°.

Плоскости равнобедренных треугольников ABD и ABC с общим основанием AB перпендикулярны. 1. Найдем AC из треугольника ABC. Так как треугольник ABC равнобедренный и ∠ACB = 45°, то ∠CAB = ∠CBA = (180° - 45°) / 2 = 67.5°. Однако это не требуется. Так как треугольник равнобедренный, и угол при вершине равен 45 градусам, значит углы при основании равны \(\frac{180-45}{2} = 67.5\). Угол ACB не влияет на решение, так как треугольник равнобедренный. 2. В равнобедренном треугольнике \(AB = BC = 6\). Теперь у нас есть два треугольника: ABD (AD = \(\sqrt{31}\), AB = 6) и ABC (AC = 6, AB = 6). Так как плоскости перпендикулярны, можем найти CD. 3. Построим высоту DE в треугольнике ABD, DE \(\perp AB\). Так как треугольник ABD равнобедренный (по условию), то AE = EB = AB/2 = 6/2 = 3. 4. По теореме Пифагора для треугольника ADE: \(DE^2 = AD^2 - AE^2\), \(DE^2 = (\sqrt{31})^2 - 3^2 = 31 - 9 = 22\), \(DE = \sqrt{22}\). 5. Рассмотрим прямоугольный треугольник CDE. \(CD^2 = CE^2 + DE^2\). CE = AC = 6, так как ABC равнобедренный и AB = BC = AC. 6. \(CD^2 = 6^2 + (\sqrt{22})^2 = 36 + 22 = 58\). 7. \(CD = \sqrt{58}\) **Ответ: \(\sqrt{58}\) см**