Задача 3: Основанием прямоугольного параллелепипеда служит прямоугольник; диагональ параллелепипеда равна 7 см, а его измерения относятся как 6:3:2. Найдите: а) измерения параллелепипеда; б) синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания.

а) Пусть измерения параллелепипеда 6x, 3x и 2x. Тогда диагональ основания равна \(\sqrt{(6x)^2 + (3x)^2} = \sqrt{36x^2 + 9x^2} = \sqrt{45x^2} = 3x\sqrt{5}\). Диагональ параллелепипеда равна 7 см, следовательно \((3x\sqrt{5})^2 + (2x)^2 = 7^2\), \(45x^2 + 4x^2 = 49\), \(49x^2 = 49\), \(x^2 = 1\), \(x = 1\). Значит, измерения параллелепипеда: 6 см, 3 см и 2 см. б) Синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью основания равен отношению высоты к диагонали, то есть \(\frac{2}{7}\). **Ответ: а) 6 см, 3 см, 2 см; б) \(\frac{2}{7}\)**