Задача 4: Найдите основание равнобедренного треугольника, если высота, проведенная к основанию, равна 6, а угол между боковыми сторонами равен 120°.

Задача 4: В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, равна 6, угол между боковыми сторонами равен \(120^{\circ}\). Нужно найти основание треугольника. Решение: 1. Пусть \(ABC\) - равнобедренный треугольник, где \(AB = BC\), \(BH\) - высота, проведенная к основанию \(AC\), \(BH = 6\), и \(\angle ABC = 120^{\circ}\). 2. Высота \(BH\) является также биссектрисой угла \(\angle ABC\). Следовательно, \[\angle ABH = \frac{1}{2} \angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 120^{\circ} = 60^{\circ}\] 3. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABH\). В этом треугольнике \[\angle ABH = 60^{\circ}\] \[\angle BAH = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}\] 4. Найдем длину \(AH\). Мы знаем, что \[\tan(\angle ABH) = \frac{AH}{BH}\] \[AH = BH \cdot \tan(60^{\circ}) = 6 \cdot \sqrt{3}\] 5. Так как \(BH\) является высотой равнобедренного треугольника, она также является медианой, поэтому \[AC = 2 \cdot AH = 2 \cdot 6 \sqrt{3} = 12 \sqrt{3}\] Ответ: \(12\sqrt{3}\)