Задача 4: Основанием треугольной пирамиды является равнобедренный треугольник с боковой стороной $$a$$ и углом $$\alpha$$ при основании. Двугранные углы пирамиды при ребрах основания равны $$\beta$$. Найдите: 1) площадь боковой поверхности пирамиды; 2) высоту пирамиды.

Решение задачи 4: 1. Найдем площадь боковой поверхности пирамиды. Поскольку двугранные углы при ребрах основания равны, вершина пирамиды проецируется в центр вписанной в основание окружности. Площадь боковой поверхности равна сумме площадей трех боковых граней. Так как основание - равнобедренный треугольник, то две боковые грани равны. Площадь каждой боковой грани можно найти как $$S = \frac{1}{2} * основание * апофема$$. Апофема всех боковых граней одинакова и равна $$h_a = r / tg(\beta)$$, где $$r$$ - радиус вписанной окружности. Площадь боковой поверхности равна: $$S_{бок} = \frac{1}{2} * P_{осн} * h_a = \frac{1}{2} * P_{осн} * \frac{r}{tg(\beta)}$$ Где $$P_{осн}$$ - периметр основания. В данном случае нам известна только боковая сторона $$a$$ и угол при основании $$\alpha$$. Необходимо выразить периметр и радиус вписанной окружности через эти параметры. 2. Найдем высоту пирамиды. Высота пирамиды равна: $$H = r * tg(\beta)$$ В общем виде решение достаточно сложно выразить через заданные параметры. Если будут известны конкретные значения $$a$$, $$\alpha$$ и $$\beta$$, решение можно будет упростить. Ответ: Общие формулы для решения даны выше. Для получения численных значений необходимо знать конкретные значения $$a$$, $$\alpha$$ и $$\beta$$.