Задача 4. Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 80, ее большая боковая сторона равна 30. Найдите радиус окружности.

Пусть \(a\) и \(b\) – основания трапеции, а \(c\) и \(d\) – боковые стороны, где \(d = 30\). Так как трапеция описана около окружности, то \(a + b = c + d\). Периметр трапеции: \(P = a + b + c + d = 80\). Заменим \(a + b\) на \(c + d\): \(c + d + c + d = 2(c + d) = 80\), следовательно, \(c + d = 40\). Так как \(d = 30\), то \(c = 40 - 30 = 10\). Высота прямоугольной трапеции равна меньшей боковой стороне, то есть \(c = 10\). Высота трапеции равна двум радиусам вписанной окружности: \(2r = c\), следовательно, \(r = \frac{c}{2} = \frac{10}{2} = 5\). Ответ: 5