Задача 6. Три стороны описанного около окружности четырехугольника относятся (в последовательном порядке) как 1:17:23. Найдите большую сторону этого четырехугольника, если известно, что его периметр равен 84.

Пусть стороны четырехугольника равны \(a, b, c, d\), и они относятся как \(1:17:23:x\). Тогда \(a = k, b = 17k, c = 23k\). Так как в четырехугольник вписана окружность, то \(a + c = b + d\). Подставим известные значения: \(k + 23k = 17k + d\), следовательно, \(24k = 17k + d\), откуда \(d = 7k\). Периметр равен \(P = a + b + c + d = k + 17k + 23k + 7k = 48k = 84\). Найдем \(k = \frac{84}{48} = \frac{7}{4} = 1.75\). Тогда стороны равны: \(a = 1.75, b = 17 cdot 1.75 = 29.75, c = 23 cdot 1.75 = 40.25, d = 7 cdot 1.75 = 12.25\). Наибольшая сторона – это \(c = 40.25\). Ответ: 40.25