Задача 4: Правильный треугольник и правильный шестиугольник вписаны в одну окружность. Найдите площади этих фигур, если радиус вписанной окружности треугольника равен $$\sqrt{3}$$.

Решение: Радиус вписанной окружности правильного треугольника равен $$r_3 = \sqrt{3}$$. Тогда сторона треугольника $$a_3 = 2\sqrt{3} \cdot r_3 = 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 6$$. Площадь треугольника: $$S_3 = \frac{a_3^2\sqrt{3}}{4} = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$$. Радиус описанной окружности треугольника: $$R = \frac{a_3}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$$. Так как шестиугольник вписан в ту же окружность, то радиус окружности равен стороне шестиугольника: $$a_6 = R = 2\sqrt{3}$$. Площадь шестиугольника: $$S_6 = \frac{3\sqrt{3}}{2} a_6^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} (2\sqrt{3})^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 12 = 18\sqrt{3}$$. Ответ: Площадь треугольника: $$9\sqrt{3}$$ Площадь шестиугольника: $$18\sqrt{3}$$