Задача 3: Продолжение боковых сторон трапеции ABCD пересекаются в точке O. Найдите BO, если AD = 8 см, BC = 3 см, AO = 32 см.

Поскольку ABCD - трапеция, AD || BC. Следовательно, \(\triangle BOC \sim \triangle DOA\) (по двум углам). Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон: \(\frac{BO}{DO} = \frac{CO}{AO} = \frac{BC}{AD}\) Подставим известные значения: \(\frac{BC}{AD} = \frac{3}{8}\). Значит, \(\frac{BO}{DO} = \frac{CO}{AO} = \frac{3}{8}\). Нам дано AO = 32 см. Найдём CO: \(\frac{CO}{32} = \frac{3}{8}\) \(CO = \frac{3}{8} \cdot 32 = 3 \cdot 4 = 12\) см. Теперь найдем DO: \(\frac{BO}{DO} = \frac{3}{8}\), значит \(DO = \frac{8}{3}BO\). Также известно, что AO = AC + CO, значит AC = AO - CO = 32 - 12 = 20. Аналогично, DO = BO + BD, так BD = DO-BO. Заметим, что \(\frac{BO}{BO+BD} = \frac{3}{8}\), значит 8BO = 3BO + 3BD, то есть 5BO = 3BD. Мы знаем, что \(\frac{CO}{AO} = \frac{BO}{DO}\) => \(\frac{12}{32} = \frac{BO}{DO}\) => \(DO = \frac{32}{12}BO = \frac{8}{3}BO\). Поскольку DO = BO + BD, то \(\frac{8}{3}BO = BO + BD\) => \(BD = \frac{5}{3}BO\). Теперь надо найти ВО. \(\frac{BO}{DO} = \frac{BC}{AD}\) \(\frac{BO}{AO + AC}
eq \frac{3}{8}\) Тогда составим такую пропорцию: \(\frac{BO}{AO} = \frac{BC}{AD}\) => \(\frac{BO}{32} = \frac{3}{8}\) => \(BO = \frac{3}{8} * 32 = 12\) Ответ: BO = 12 см.