Задача 15. Пусть a, b, c и d – попарно различные натуральные числа, меньшие 10. Известно, что числа a² + 2cd + b² и c² + 2ab + d² являются точными квадратами. Приведите пример таких a, b, c и d.

Пусть $$a^2 + 2cd + b^2 = (a+b)^2$$. Тогда $$a^2 + 2ab + b^2 = a^2 + 2cd + b^2 => 2ab = 2cd => ab = cd$$.

Аналогично, пусть $$c^2 + 2ab + d^2 = (c+d)^2$$. Тогда $$c^2 + 2cd + d^2 = c^2 + 2ab + d^2 => 2cd = 2ab => cd = ab$$.

Таким образом, нужно найти четыре различных натуральных числа a, b, c, d, меньших 10, таких, что $$ab = cd$$.

Пример: a = 1, b = 6, c = 2, d = 3. Тогда $$ab = 1 \cdot 6 = 6$$ и $$cd = 2 \cdot 3 = 6$$.

a = 1, b = 6, c = 2, d = 3.

Проверим:

$$a^2 + 2cd + b^2 = 1^2 + 2 \cdot 2 \cdot 3 + 6^2 = 1 + 12 + 36 = 49 = 7^2$$.

$$c^2 + 2ab + d^2 = 2^2 + 2 \cdot 1 \cdot 6 + 3^2 = 4 + 12 + 9 = 25 = 5^2$$.

Ответ: a = 1, b = 6, c = 2, d = 3.