Задача 16: Саша загадала четырёхзначное число. Из загаданного числа она вычла сумму его цифр, а у полученной разности зачеркнула одну цифру и получила число 151. Какую цифру зачеркнула Саша? Запишите решение и ответ.

Решение: 1. Пусть загаданное число \(abcd\), где \(a, b, c, d\) - цифры числа. 2. Тогда число можно записать как \(1000a + 100b + 10c + d\). 3. Сумма цифр числа равна \(a + b + c + d\). 4. После вычитания суммы цифр из числа получаем: \(1000a + 100b + 10c + d - (a + b + c + d) = 999a + 99b + 9c\). 5. Полученное число делится на 9 (так как каждый член делится на 9). 6. Раз Саша зачеркнула одну цифру и получила число 151, восстановим число, добавив цифру в разные позиции. 7. Добавим цифру \(x\) в разные позиции и проверим делимость на 9: - \(x151\) -> \(x + 1 + 5 + 1 = x + 7\), чтобы делилось на 9, \(x = 2\), число 2151. - \(1x51\) -> \(1 + x + 5 + 1 = x + 7\), чтобы делилось на 9, \(x = 2\), число 1251. - \(15x1\) -> \(1 + 5 + x + 1 = x + 7\), чтобы делилось на 9, \(x = 2\), число 1521. - \(151x\) -> \(1 + 5 + 1 + x = x + 7\), чтобы делилось на 9, \(x = 2\), число 1512. 8. Проверим варианты: - 2151 делится на 9 (2151 / 9 = 239). Сумма цифр числа 239 равна 14. - 1251 делится на 9 (1251 / 9 = 139). Сумма цифр числа 139 равна 22. - 1521 делится на 9 (1521 / 9 = 169). Сумма цифр числа 169 равна 16. - 1512 делится на 9 (1512 / 9 = 168). Сумма цифр числа 168 равна 15. 9. Рассмотрим число 1512. Если Саша загадала число 1680, то 1680 - (1+6+8+0) = 1680 - 15 = 1665. Если зачеркнуть цифру 6, получится 151, но исходное число 1665 не соответствует делению на 9. 10. Рассмотрим число 1521. Если Саша загадала число 1690, то 1690 - (1+6+9+0) = 1690 - 16 = 1674. Если зачеркнуть цифру 7, то получится 1521, но исходное число 1674 не соответствует делению на 9. 11. Рассмотрим число 1251. Если Саша загадала число 1390, то 1390 - (1+3+9+0) = 1390 - 13 = 1377. Не соответствует делению на 9. 12. Рассмотрим число 2151. Если Саша загадала число 2390, то 2390 - (2+3+9+0) = 2390 - 14 = 2376. Не соответствует делению на 9. Рассмотрим другой подход: Пусть полученное после вычитания суммы цифр число было \(N\), и \(N = 1000a + 100b + 10c + d\), где \(a, b, c\) - цифры. Тогда можно записать \(N = 999x + 99y + 9z\). Значит, \(N\) делится на 9. Если Саша зачеркнула последнюю цифру, то \(151\), значит \(1510 + x\) должно делиться на 9. Если \(1 + 5 + 1 + x = 7 + x\) делится на 9, то \(x = 2\). Значит, число \(1512\). Тогда \(1512\) делится на 9, \(1512 / 9 = 168\). Если Саша загадала число \(1680\), то \(1680 - 15 = 1665\). Саша зачеркнула цифру 6. Тогда Саша зачеркнула цифру 6. Ответ: Саша зачеркнула цифру 6.