Задача 4. Стороны основания прямого параллелепипеда равны 8 см и 15 см и образуют угол в 60°. Меньшая из площадей диагональных сечений равна 130 см². Найти площадь полной поверхности параллелепипеда, объём параллелепипеда.

Решение: Пусть a = 8 см, b = 15 см, \(\alpha = 60^\circ\). Площадь диагонального сечения \(S_{сеч} = 130 \text{ см}^2\). Так как сечение меньшее, значит, оно проходит через меньшую диагональ основания. Найдем меньшую диагональ основания \(d_1\) по теореме косинусов: \[d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha) = 8^2 + 15^2 - 2 \cdot 8 \cdot 15 \cdot \cos(60^\circ) = 64 + 225 - 240 \cdot \frac{1}{2} = 289 - 120 = 169\] \[d_1 = \sqrt{169} = 13 \text{ см}\] Пусть h - высота параллелепипеда. Тогда площадь диагонального сечения равна: \[S_{сеч} = d_1 \cdot h = 130\] \[13h = 130\] \[h = 10 \text{ см}\] Площадь основания: \[S_{осн} = a \cdot b \cdot \sin(\alpha) = 8 \cdot 15 \cdot \sin(60^\circ) = 120 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 60\sqrt{3} \text{ см}^2\] Объем параллелепипеда: \[V = S_{осн} \cdot h = 60\sqrt{3} \cdot 10 = 600\sqrt{3} \text{ см}^3\] Площадь боковой поверхности: \[S_{бок} = 2(a+b)h = 2(8+15)10 = 2 \cdot 23 \cdot 10 = 460 \text{ см}^2\] Площадь полной поверхности: \[S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 460 + 2 \cdot 60\sqrt{3} = 460 + 120\sqrt{3} \text{ см}^2\] Ответ: Объем параллелепипеда равен \(600\sqrt{3}\) см³. Площадь полной поверхности равна \((460 + 120\sqrt{3})\) см².