Задача 3. В правильной четырёхугольной пирамиде со стороной основания 6 см и длиной бокового ребра \(\sqrt{50}\) см найти косинус угла наклона бокового ребра к плоскости основания и площадь боковой поверхности.

Решение: Пусть дана правильная четырехугольная пирамида SABCD, где ABCD - квадрат со стороной 6 см. O - центр основания (точка пересечения диагоналей). Боковое ребро, например SA = \(\sqrt{50}\) см. 1. Найдем косинус угла наклона бокового ребра к плоскости основания. Это угол между SA и AO. AO - половина диагонали квадрата, значит: \[AO = \frac{1}{2} \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot a\sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{2} = 3\sqrt{2}\] Рассмотрим треугольник SAO - прямоугольный (SO перпендикулярна плоскости основания). Тогда: \[\cos(\angle SAO) = \frac{AO}{SA} = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{50}} = \frac{3\sqrt{2}}{5\sqrt{2}} = \frac{3}{5} = 0.6\] 2. Найдем площадь боковой поверхности. Для этого сначала найдем апофему (высоту боковой грани). Обозначим апофему SK. Тогда AK = a/2 = 6/2 = 3 см. Рассмотрим треугольник SAK - прямоугольный. Тогда: \[SK = \sqrt{SA^2 - AK^2} = \sqrt{50 - 9} = \sqrt{41}\] Площадь одной боковой грани равна: \[S_{грани} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot SK = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \sqrt{41} = 3\sqrt{41}\] Площадь боковой поверхности: \[S_{бок} = 4 \cdot S_{грани} = 4 \cdot 3\sqrt{41} = 12\sqrt{41} \text{ см}^2\] Ответ: Косинус угла наклона бокового ребра равен 0.6. Площадь боковой поверхности равна \(12\sqrt{41}\) см².