Задача 2. Укажите наименьшее целое значение х, при котором дробь \(\frac{x+5}{x-3}\) принимает целое значение.

Выделим целую часть дроби:

$$\frac{x+5}{x-3} = \frac{x-3+8}{x-3} = 1 + \frac{8}{x-3}$$

Для того чтобы дробь принимала целое значение, необходимо чтобы \(x - 3\) являлось делителем числа 8. Делители числа 8: \(\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8\).

Выразим \(x\):

$$x = 3 + d$$, где \(d\) - делитель числа 8.

Рассмотрим все варианты:

1. \(x = 3 + 1 = 4\)
2. \(x = 3 - 1 = 2\)
3. \(x = 3 + 2 = 5\)
4. \(x = 3 - 2 = 1\)
5. \(x = 3 + 4 = 7\)
6. \(x = 3 - 4 = -1\)
7. \(x = 3 + 8 = 11\)
8. \(x = 3 - 8 = -5\)

Наименьшее целое значение \(x\) равно -5.

Ответ: -5