Задача 1. В равнобедренном прямоугольном треугольнике из вершины прямого угла проведена высота. Найдите углы треугольников, на которые она разбивает данный треугольник.

Пусть дан равнобедренный прямоугольный треугольник ABC, где угол C = 90°, и проведена высота CH из вершины C. 1. Так как треугольник ABC равнобедренный и прямоугольный, углы при основании равны 45°: ∠A = ∠B = 45°. 2. Высота CH является и медианой, и биссектрисой в равнобедренном треугольнике. Значит, ∠ACH = ∠BCH = 90° / 2 = 45°. 3. В треугольнике ACH: ∠ACH = 45°, ∠CAH = 45°, ∠CHA = 90°. В треугольнике BCH: ∠BCH = 45°, ∠CBH = 45°, ∠CHB = 90°. Таким образом, углы треугольников, на которые высота разбивает исходный треугольник, равны 45°, 45° и 90°.