Задача 3: В равностороннем треугольнике ABC точки M, N, К – середины сторон AB, BC, CA соответственно. Докажите, что BMKN — ромб.

Так как треугольник ABC равносторонний, то AB = BC = CA. Поскольку M, N, K - середины сторон, то BM = MA = CN = NB = AK = KC. MN - средняя линия, параллельная AC и MN = AC/2. BK - медиана, а в равностороннем треугольнике медиана является и высотой, и биссектрисой. BM = CN = AK = AB/2. Так как BM = BN, то треугольник BMN равнобедренный. Угол B = 60 градусов, поэтому угол BMN = углу BNM = (180-60)/2 = 60. Следовательно, BMN - равносторонний. BM = MN. Аналогично доказывается, что NK = KC и KN = BM. BM = MN = NK = KC, следовательно, BMKN - ромб.