Задача 4: В стаканчик для мороженого конической формы глубиной 10 см и диаметром верхней части 6 см положили две ложки мороженого в виде полушарий диаметром 4 см. Переполнит ли мороженое стаканчик, если растает?

Сначала найдем объем стаканчика конической формы. Радиус верхней части стаканчика равен половине диаметра, то есть 3 см. Высота стаканчика равна 10 см. Объем конуса вычисляется по формуле $$V_{конуса} = \frac{1}{3} \pi r^2 h$$.

Подставляем значения: $$V_{конуса} = \frac{1}{3} \pi (3^2) (10) = \frac{1}{3} \pi (9) (10) = 30\pi$$ кубических сантиметров.

Теперь найдем объем двух полушарий мороженого. Диаметр каждого полушария равен 4 см, значит, радиус равен 2 см. Объем одного полушария равен половине объема шара: $$V_{полушария} = \frac{1}{2} (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{2}{3} \pi r^3$$.

Подставляем значения: $$V_{полушария} = \frac{2}{3} \pi (2^3) = \frac{2}{3} \pi (8) = \frac{16}{3} \pi$$. Объем двух полушарий: $$2 V_{полушария} = 2 (\frac{16}{3} \pi) = \frac{32}{3} \pi \approx 10.67\pi$$ кубических сантиметров.

Сравним объемы: $$V_{конуса} = 30\pi$$ и $$2 V_{полушария} = \frac{32}{3} \pi$$.

Так как $$\frac{32}{3} \pi < 30\pi$$, мороженое не переполнит стаканчик, когда растает.