Задача 4: В треугольнике ABC \(\angle C = 60^\circ\). На стороне AC отмечена точка D так, что \(\angle BDC = 60^\circ\), \(\angle ABD = 30^\circ\). Докажите, что \(AD = BC\).

Решение: 1. Рассмотрим \(\triangle BDC\). В нём \(\angle BDC = 60^\circ\) и \(\angle C = 60^\circ\). Следовательно, \(\angle DBC = 180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ\). Значит, \(\triangle BDC\) - равносторонний, и \(BD = BC = DC\). 2. Теперь рассмотрим \(\triangle ABC\). \(\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC = 30^\circ + 60^\circ = 90^\circ\). Значит, \(\triangle ABC\) - прямоугольный с прямым углом \(\angle B\). 3. Рассмотрим \(\triangle ABD\). Мы знаем, что \(\angle ABD = 30^\circ\). Найдем \(\angle A\). В \(\triangle ABC\), \(\angle A = 180^\circ - \angle ABC - \angle C = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ\). 4. Следовательно, \(\triangle ABD\) - равнобедренный, так как \(\angle A = \angle ABD = 30^\circ\). Значит, \(AD = BD\). 5. Так как \(AD = BD\) и \(BD = BC\) (из \(\triangle BDC\)), то \(AD = BC\). **Доказано: \(AD = BC\).**