Задача 3 (Вариант Б1): Центральный угол окружности длиной $$30\pi$$ см равен $$84^{\circ}$$. Найдите: а) длину дуги, на которую опирается этот угол; б) площадь сектора, ограниченного этой дугой.

Решение: а) Длина дуги ($$l$$) пропорциональна центральному углу. Полная окружность имеет угол $$360^{\circ}$$ и длину $$30\pi$$ см. Составим пропорцию: $$\frac{l}{30\pi} = \frac{84}{360}$$ $$l = \frac{84}{360} \cdot 30\pi = \frac{7}{30} \cdot 30\pi = 7\pi$$ см. б) Площадь сектора ($$S$$) также пропорциональна центральному углу. Площадь полного круга $$S_{кр} = \pi r^2$$. Найдем радиус окружности: $$C = 2\pi r = 30\pi$$, следовательно, $$r = 15$$ см. Тогда $$S_{кр} = \pi (15^2) = 225\pi$$ см$$^2$$. Теперь составим пропорцию для площади сектора: $$\frac{S}{225\pi} = \frac{84}{360}$$ $$S = \frac{84}{360} \cdot 225\pi = \frac{7}{30} \cdot 225\pi = \frac{7 \cdot 15}{2} \pi = \frac{105}{2}\pi = 52.5\pi$$ см$$^2$$. Ответ: а) $$7\pi$$ см б) $$52.5\pi$$ см$$^2$$