Задача 3 (Вариант Б2): Вписанный угол окружности длиной $$36\pi$$ см равен $$35^{\circ}$$. Найдите: а) длину дуги, на которую опирается этот угол; б) площадь сектора, ограниченного этой дугой.

Решение: а) Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. Значит, центральный угол, опирающийся на эту дугу, равен $$2 \cdot 35^{\circ} = 70^{\circ}$$. Найдем длину дуги ($$l$$). Полная окружность имеет угол $$360^{\circ}$$ и длину $$36\pi$$ см. Составим пропорцию: $$\frac{l}{36\pi} = \frac{70}{360}$$ $$l = \frac{70}{360} \cdot 36\pi = \frac{7}{36} \cdot 36\pi = 7\pi$$ см. б) Площадь сектора ($$S$$) также пропорциональна центральному углу. Площадь полного круга $$S_{кр} = \pi r^2$$. Найдем радиус окружности: $$C = 2\pi r = 36\pi$$, следовательно, $$r = 18$$ см. Тогда $$S_{кр} = \pi (18^2) = 324\pi$$ см$$^2$$. Теперь составим пропорцию для площади сектора: $$\frac{S}{324\pi} = \frac{70}{360}$$ $$S = \frac{70}{360} \cdot 324\pi = \frac{7}{36} \cdot 324\pi = 7 \cdot 9 \pi = 63\pi$$ см$$^2$$. Ответ: а) $$7\pi$$ см б) $$63\pi$$ см$$^2$$