Задача 2: Внутренний угол треугольника равен разности двух внешних углов, не смежных с ним. Докажите, что данный треугольник прямоугольный.

Пусть $$\alpha$$, $$\beta$$ и $$\gamma$$ - внутренние углы треугольника. Тогда его внешние углы равны $$180^{\circ}-\alpha$$, $$180^{\circ}-\beta$$ и $$180^{\circ}-\gamma$$. По условию, один из внутренних углов равен разности двух внешних углов, не смежных с ним. Например, $$\alpha = (180^{\circ} - \beta) - (180^{\circ} - \gamma)$$ $$\alpha = 180^{\circ} - \beta - 180^{\circ} + \gamma$$ $$\alpha = \gamma - \beta$$ Тогда $$\alpha + \beta = \gamma$$. Сумма углов треугольника равна $$180^{\circ}$$: $$\alpha + \beta + \gamma = 180^{\circ}$$ $$\gamma + \gamma = 180^{\circ}$$ $$2\gamma = 180^{\circ}$$ $$\gamma = 90^{\circ}$$ Следовательно, треугольник прямоугольный. **Что и требовалось доказать.**